Вестник Поволжского государственного технологического университета. Серия: Материалы. Конструкции. Технологии
Численные методы решения задач об изгибе квадратной пластины
Опубликована: 2021-11-08
  • М. Ю. Смирнов Поволжский государственный технологический университет (г. Йошкар-Ола)
  • М. И. Попов Воронежский государственный университет инженерных технологий (г. Воронеж)
  • А. В. Скрыпников Воронежский государственный университет инженерных технологий (г. Воронеж)
  • А. О. Боровлев Воронежский государственный университет инженерных технологий (г. Воронеж)
  • П. В. Тихомиров Брянский государственный инженерно-технологический университет (г. Брянск)
  • В. В. Никитин Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (г. Москва)

Аннотация

Тонкие прямоугольные пластины, изготовленные из различных материалов, применяются в строительстве при возведении зданий и промышленных сооружений, а также в машиностроении. В статье приведено численное решение задачи изгиба квадратной пластины классическим методом конечных разностей. Тонкая квадратная пластина со стороной равной 1 защемлена по всему контуру и в каждой внутренней точке приложена сила. Математическое описание прогиба представляет собой неоднородное бигармоническое уравнение с граничными условиями первого и второго рода. С использованием разложения функции в ряд Тейлора вычислены погрешность аппроксимации бигармонического оператора разностным аналогом и погрешность аппроксимации граничных условий. Проведен анализ скорости сходимости схемы. Рассмотрены классический и модифицированный подходы. Полученное решение улучшено методом экстраполяции Ричардсона, что позволило уменьшить абсолютную погрешность решения на 4 порядка. Представлено пошаговое построение неявной конечно-разностной схемы второго порядка точности для неоднородного бигармонического уравнения при нулевых граничных условиях на искомую функцию и ее градиент. Классический и модифицированный методы экстраполяции Ричардсона рассмотрены на последовательности сеточных функций. Экстраполированные решения представлены в виде линейной комбинации сеточных функций в общих узлах с весовыми коэффициентами.
Вычислительные эксперименты для тестовой функции проведены с использованием системы компьютерной алгебры Maple. Получены решения задачи для разных шагов сетки. Выявлена зависимость погрешности времени расчета от количества значимых цифр. Найдено оптимальное количество значимых цифр. Исследована скорость сходимости классического метода конечных разностей. Аналогичной точности при использовании классического метода можно добиться уменьшением сеточного шага в сотни раз, что увеличит время расчета в тысячи раз. При этом требования к объему оперативной памяти компьютера также вырастут в сотни раз. Значения функции в промежуточных узлах получены с помощью полиномиального сплайна 5 степени. При данном подходе абсолютная погрешность решения не увеличивается, а время расчета меняется незначительно. Полученные результаты согласуются с приближенно-аналитическим решением подобной задачи.

Биографии авторов

М. Ю. Смирнов, Поволжский государственный технологический университет (г. Йошкар-Ола)

доктор технических наук, профессор кафедры транспортно-технологических машин, Поволжский государственный технологический университет, г. Йошкар-Ола Область научных интересов — лесотранспорт, лесные дороги, строительные и дорожные машины. Автор 195 публикаций, в том числе 5 монографий и 17 учебных пособий.

М. И. Попов, Воронежский государственный университет инженерных технологий (г. Воронеж)

кандидат физико-математических наук, доцент Воронежского государственного университета инженерных технологий, г. Воронеж. Область научных интересов — математическое моделирование внутренних задач свободной конвекции в кондуктивно-ламинарном режиме, численные и приближенно аналитические методы решения задач математической физики. Автор 179 публикаций, в том числе 3 монографий и 12 учебных пособий.

А. В. Скрыпников, Воронежский государственный университет инженерных технологий (г. Воронеж)

доктор технических наук, профессор, декан факультета управления информатики в технологических системах, заведующий кафедрой информационной безопасности, Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж. Область научных интересов — математическое моделирование, защита информации в автоматизированных системах, лесотранспорт, лесовозные автомобильные дороги. Автор 435 публикаций, в том числе 15 монографий и 10 учебных пособий.

А. О. Боровлев, Воронежский государственный университет инженерных технологий (г. Воронеж)

экстерн, Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж. Область научных интересов — лесотранспорт, строительные и дорожные машины, лесные дороги. Автор 5 публикаций.

П. В. Тихомиров, Брянский государственный инженерно-технологический университет (г. Брянск)

кандидат технических наук, доцент, Брянский государственный инженерно-технологический университет, г. Брянск. Область научных интересов — дорожные и строительные машины, лесные дороги, лесотранспорт. Автор 90 публикаций, в том числе 2 монографий и 3 учебных пособий.

В. В. Никитин, Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (г. Москва)

кандидат технических наук, доцент, Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет), г. Москва. Область научных интересов — трассирование лесовозных дорог, лесотранспорт, строительные и дорожные машины, лесные дороги. Автор 70 публикаций, в том числе 2 монографий и 5 учебных пособий.

Литература

1. Завьялов В. Н., Мартынов Е. А., Романовский В. М. Основы конструкционной механики плит: учебник. Омск : Омский СибАДИ, 2012. 116 с.
2. Сухотерин М. В., Барышников С. О., Ломтева К. О. Об однородных решениях проблемы изгиба кантилеверной прямоугольной пластины // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2016. № 3. 248 с.
3. Приходовский М. А. Модификация метода экстраполяции Ричардсона // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. № 12. С. 237–243.
4. Тиховская С. В. Исследование двухсеточного метода повышенной точности для эллиптической реакции — уравнения диффузии с пограничными слоями // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2015. Т. 157, № 1. С. 60–74.
5. Локальная разрешимость и разрушение решения одного уравнения с квадратичной неэрцитивной нелинейностью / М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, Е. А. Овсянников, А. А. Панин // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программиро- вание. 2017. Т. 10, № 2. С. 107–123.
6. Ряжских В. И., Слюсарев М. И., Попов М. И. Численное интегрирование бигармонического уравнения в квадратной области // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процесс управления. 2013. № 1. С. 52–62.
7. Попов М. Я. Интегрирование неоднородного бигармонического уравнения по неявной схеме // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2018. Т. 80, № 2 (76). С. 114–118.
8. Попов М. И., Соболева Е. А. Приближенное аналитическое решение внутренней задачи кондуктивно-ламинарной свободной конвекции // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2016. № 4 (70). С. 78–84.